В ограниченной области создано однородное магнитное поле B, линии индукции которого направлены на читателя (как показано на рисунке). Границу этой области постоянно скоростью v, направленной влево, пересекает квадратная рамка площадью S, расположенная в плоскости рисунка. В рамке генерируется ЭДС индукции 20 мВ. Какая ЭДС индукции возникнет в квадратной рамке площадью S/4 при её движении с прежней скоростью в этом поле?

Анализ задачи:

ЭДС индукции, возникающая в рамке, определяется формулой:

\[ \mathcal{E} = -\frac{\Delta \Phi}{\Delta t} \]

где $$\Phi = B  S \cos{\alpha}$$ — магнитный поток, $$B$$ — индукция магнитного поля, $$S$$ — площадь рамки, $$\alpha$$ — угол между вектором магнитной индукции и нормалью к плоскости рамки. В данном случае, вектор $$B$$ перпендикулярен плоскости рамки, поэтому $$\alpha = 0$$ и $$\cos{\alpha} = 1$$. Магнитное поле однородное и направлено на читателя, а рамка движется влево, пересекая границу области.

Изменение магнитного потока происходит, когда рамка пересекает границу магнитного поля. Скорость движения рамки $$v$$ постоянна.

Время, за которое рамка площадью $$S$$ пересекает границу, зависит от её размеров. Пусть сторона рамки равна $$a$$. Тогда площадь $$S = a^2$$. Скорость $$v$$ направлена влево, перпендикулярно одной из сторон рамки. Время, за которое рамка полностью входит или выходит из поля, будет $$\Delta t = a / v$$.

Изменение магнитного потока за это время:

\[ \Delta \Phi = B \cdot S \]

Тогда ЭДС индукции для рамки площадью $$S$$:

\[ \mathcal{E}_S = \frac{B  S}{a / v} = \frac{B  S  v}{a} \]

Так как $$S = a^2$$, то $$a = √ S$$.

\[ \mathcal{E}_S = \frac{B  S  v}{√ S} = B  √ S  v \]

Нам дано, что для рамки площадью $$S$$, ЭДС индукции $$\mathcal{E}_S = 20\text{ мВ}$$.

Теперь рассмотрим рамку площадью $$S/4$$. Площадь новой рамки $$S' = S/4$$. Сторона новой рамки $$a' = √ (S/4) = √ S / 2 = a / 2$$.

Скорость движения $$v$$ прежняя.

Время, за которое рамка площадью $$S/4$$ пересекает границу:

\[ \Delta t' = a' / v = (a/2) / v = a / (2v) = \Delta t / 2 \]

Изменение магнитного потока для новой рамки:

\[ \Delta \Phi' = B  S' = B  (S/4) \]

ЭДС индукции для рамки площадью $$S/4$$:

\[ \mathcal{E}_{S/4} = \frac{\Delta \Phi'}{\Delta t'} = \frac{B  (S/4)}{a / (2v)} = \frac{B  S  2v}{4a} = \frac{B  S  v}{2a} \]

Сравнивая $$\mathcal{E}_S$$ и $$\mathcal{E}_{S/4}$$:

\[ \mathcal{E}_{S/4} = \frac{1}{2} \frac{B  S  v}{a} = \frac{1}{2} \mathcal{E}_S \]

Таким образом, ЭДС индукции для рамки площадью $$S/4$$ будет в два раза меньше.

\[ \mathcal{E}_{S/4} = \frac{1}{2}  20\text{ мВ} = 10\text{ мВ} \]

Ответ: 10 мВ