В ограниченной области создано однородное магнитное поле В, линии индукции которого направлены на читателя (как показано на рисунке). Границу этой области постоянной скоростью v, направленной влево, пересекает квадратная рамка площадью S, расположенная в плоскости рисунка. В рамке генерируется ЭДС индукции 20 мВ. Какая ЭДС индукции возникнет в квадратной рамке площадью S/4 при её движении с прежней скоростью в этом поле?

Решение:

ЭДС индукции, возникающая в рамке, движущейся в магнитном поле, определяется формулой:

\[ \mathcal{E} = B \cdot L \cdot v \cdot \sin{\alpha} \]

где:

• B — индукция магнитного поля;
• L — длина проводника, пересекающего силовые линии (в данном случае, сторона рамки);
• v — скорость движения рамки;
• α — угол между вектором скорости и вектором магнитной индукции.

В данном случае, магнитное поле направлено на читателя (крестик или точка, в зависимости от контекста, но в задаче указано 'на читателя', что обычно обозначается точкой, а вектор B дан с точкой, что означает выход из плоскости), а скорость направлена влево. Таким образом, вектор скорости v перпендикулярен вектору магнитной индукции B, поэтому α = 90°, и αsin = 1.

Условие задачи можно переписать так:

Первая рамка:

• Площадь рамки: $$S = L^2$$ (так как рамка квадратная).
• ЭДС индукции: $$\mathcal{E}_1 = 20$$ мВ.
• Следовательно, $$20 \text{ мВ} = B \cdot L \cdot v$$.

Вторая рамка:

• Площадь рамки: $$S_2 = \frac{S}{4}$$.
• Сторона второй рамки: $$L_2 = \sqrt{S_2} = \sqrt{\frac{S}{4}} = \frac{\sqrt{S}}{2} = \frac{L}{2}$$.
• Скорость движения: $$v_2 = v$$.
• Магнитное поле: $$B_2 = B$$.
• ЭДС индукции: $$\mathcal{E}_2$$ — неизвестно.

Теперь рассчитаем ЭДС индукции для второй рамки:

\[ \mathcal{E}_2 = B_2 \cdot L_2 \cdot v_2 = B \cdot \frac{L}{2} \cdot v \]

Мы знаем, что $$B \cdot L \cdot v = 20$$ мВ. Подставим это в выражение для $$\mathcal{E}_2$$:

\[ \mathcal{E}_2 = \frac{1}{2} \cdot (B \cdot L \cdot v) = \frac{1}{2} \cdot 20 \text{ мВ} = 10 \text{ мВ} \]

Ответ: 10 мВ