2. В окружность вписан четырёхугольник, три стороны которого равны между собой, а четвёртая равна радиусу окружности. Найдите углы этого четырёхугольника, если известно, что он содержит центр окружности.

Пусть дан четырехугольник $$ABCD$$, вписанный в окружность, где $$AB = BC = CD = a$$ и $$AD = R$$, где $$R$$ – радиус окружности. Центр окружности лежит внутри четырехугольника. Пусть $$\angle A = \alpha$$. Так как $$AB = BC = CD$$, то дуги $$AB$$, $$BC$$ и $$CD$$ равны, а значит, равны и вписанные углы, опирающиеся на эти дуги: $$\angle ADB = \angle BDC = \angle BAC = \angle BCA = \angle CBD = \angle DBC$$. Обозначим эти углы за $$\beta$$. Тогда $$\angle ABC = \angle ABD + \angle DBC = 2\beta$$, $$\angle BCD = 2\beta$$ и $$\angle ADC = 2\beta$$. Поскольку $$AD = R$$, центральный угол, опирающийся на дугу $$AD$$, равен $$2 \angle ABD = 2\alpha$$, то дуга $$AD$$ равна $$R$$. Так как $$AB=BC=CD$$, то углы, опирающиеся на эти стороны, равны. Пусть \(\angle AOB = \angle BOC = \angle COD = 2x\). Поскольку AD=R, то \(\angle AOD = 2y\). Поскольку центр лежит внутри четырехугольника, то \(2x + 2x + 2x + 2y = 360^{\circ}\) или \(6x + 2y = 360^{\circ}\) или \(3x + y = 180^{\circ}\). \(\angle A = (180^{\circ}-x-y)/2 = 120\) Пусть $$O$$ — центр окружности. Так как $$AD = R$$, то треугольник $$AOD$$ равносторонний, и $$\angle AOD = 60^{\circ}$$. Тогда $$\angle ABD = \frac{1}{2} \angle AOD = 30^{\circ}$$. Так как $$AB = BC = CD$$, то $$\angle AOB = \angle BOC = \angle COD = x$$. Тогда $$3x + 60^{\circ} = 360^{\circ}$$, следовательно, $$3x = 300^{\circ}$$, и $$x = 100^{\circ}$$. Тогда $$\angle ABC = \angle BCD = \frac{1}{2}(360^{\circ} - 100^{\circ} - 60^{\circ}) = \frac{1}{2} \cdot 200^{\circ} = 100^{\circ}$$. \(\angle BAD = \angle CDA = \frac{1}{2} (100^{\circ} + 100^{\circ}) = 150^{\circ}\) Таким образом, углы четырехугольника равны: $$\angle A = \angle D = 75^{\circ}$$ и $$\angle B = \angle C = 105^{\circ}$$. **Ответ:** Углы четырехугольника: $$75^{\circ}, 105^{\circ}, 105^{\circ}, 75^{\circ}$$.