1. В окружности с центром О и радиусом 12 см проведена хорда АВ. Найдите длину хорды АВ, если периметр треугольника АОВ равен 31 см.

Решение:

Пусть О - центр окружности, ОА и ОВ - радиусы, АВ - хорда. Периметр треугольника АОВ равен сумме длин всех его сторон: $$P_{AOB} = OA + OB + AB$$. Так как ОА и ОВ - радиусы окружности, то $$OA = OB = 12 \text{ см}$$. Подставим известные значения в формулу периметра: $$31 = 12 + 12 + AB$$, откуда $$AB = 31 - 24 = 7 \text{ см}$$.

Ответ: 7 см