3. В окружности с центром О проведена хорда МК. Диаметр АВ перпендикулярен хорде МК и пересекает её в точке Р. Докажите, что диаметр пересекает хорду в середине, т.е. МР=РК.

Доказательство:

Пусть дана окружность с центром О, хорда МК и диаметр АВ, перпендикулярный хорде МК и пересекающий её в точке Р. Нужно доказать, что МР = РК.

Рассмотрим треугольники MPO и KPO. В этих треугольниках:

• МО = КО (как радиусы окружности)
• ∠MPO = ∠KPO = 90° (по условию АВ перпендикулярен МК)
• РО - общая сторона

Следовательно, треугольники MPO и KPO равны по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников). Из равенства треугольников следует, что МР = РК.

Ответ: Доказано, что MP=PK.