5. В окружности с центром O проведен диаметр AB, пересекающий хорду CD в точке K, причем K - середина хорды. Известно, что \(\angle CAD = 40^\circ\). Найдите \(\angle BAD\).

Решение:

1. Так как K - середина хорды CD и AB - диаметр, то AB перпендикулярен CD (диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен этой хорде).
2. \(\angle CKA = 90^\circ\).
3. \(\angle CAD = 40^\circ\) (дано).
4. Рассмотрим треугольник ACK. \(\angle ACK = 90^\circ - \angle CAD = 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ\).
5. Так как \(AB\) - диаметр, то \(\angle ACB = 90^\circ\) (угол, опирающийся на диаметр, прямой).
6. \(\angle BCD = \angle ACB - \angle ACK = 90^\circ - 50^\circ = 40^\circ\).
7. Углы CAD и CBD опираются на одну и ту же дугу CD, следовательно, они равны. Значит, \(\angle CBD = \angle CAD = 40^\circ\).
8. Углы BAD и BCD опираются на одну и ту же дугу BD, следовательно, они равны. Значит, \(\angle BAD = \angle BCD = 50^\circ\).

Ответ: \(\angle BAD = 50^\circ\)