5*. В окружности с центром О проведен диаметр АВ, пересекающий хорду CD в точке К, причем К — середина хорды. Известно, что ∠CAD = 40°. Найдите ∠BAD.

5*. Дано: Окружность с центром О, АВ – диаметр, CD – хорда, К – середина CD, ∠CAD = 40°. Найти: ∠BAD.

Решение:

1. Так как диаметр АВ проходит через середину хорды CD, то АВ ⊥ CD. Следовательно, ∠АКС = 90°.
2. Рассмотрим треугольник ΔАСК. Сумма углов треугольника равна 180°, следовательно, $$∠АСК = 180° - ∠САК - ∠АКС = 180° - 40° - 90° = 50°$$.
3. ∠АСВ – вписанный угол, опирающийся на диаметр АВ. Следовательно, ∠АСВ = 90°.
4. ∠ВСА = ∠АСВ - ∠АСК = 90° - 50° = 40°.
5. ∠ВАD = ∠ВСD (как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу BD). Следовательно, ∠ВАD = 40°.

Ответ: ∠ВАD = 40°.