5*. В окружности с центром O проведены диаметр AC и хорда BD, пересекающиеся в точке M, причем BM = DM. \(\angle BAC = 35^\circ\). Найдите \(\angle BAD\).

Дано: Окружность с центром O, диаметр AC, хорда BD, AC пересекает BD в точке M, BM = DM, \(\angle BAC = 35^\circ\).

Найти: \(\angle BAD\).

Решение:

1. Так как BM = DM, то AM является медианой треугольника ABD.

2. Так как AC - диаметр, то \(\angle ABC = 90^\circ\) (угол, опирающийся на диаметр - прямой).

3. Рассмотрим \(\triangle ABC\): \(\angle BAC = 35^\circ\), \(\angle ABC = 90^\circ\), следовательно, \(\angle BCA = 180^\circ - 90^\circ - 35^\circ = 55^\circ\).

4. Так как BM = DM и AM является медианой треугольника ABD, и AC - диаметр, то AC перпендикулярен BD (медиана, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, является высотой). Следовательно, \(\angle AMD = 90^\circ\).

5. \(\angle BAD = \angle BAM + \angle MAD\).

6. \(\angle BAM = \angle BAC = 35^\circ\).

7. Рассмотрим \(\triangle AMD\): \(\angle AMD = 90^\circ\), \(\angle MAD = 90^\circ - \angle ADM\).

8. Так как \(\angle ADM = \angle BCA = 55^\circ\) (оба угла опираются на одну и ту же дугу AB), то \(\angle MAD = 90^\circ - 55^\circ = 35^\circ\).

9. Тогда \(\angle BAD = 35^\circ + 35^\circ = 70^\circ\).