В окружности с центром О проведены диаметр АС и хорда BD, пересекающиеся в точке М, причем ВМ = DM. ∠BAC = 35°. Найдите ∠BAD.

Т.к. ВМ = DM, то АС перпендикулярна хорде BD. То есть, ∠АМВ = 90°.

Рассмотрим прямоугольный треугольник АМВ.

∠АВМ = 90° - ∠ВАС = 90° - 35° = 55°.

Тогда ∠АОС = 2 * ∠АВС = 2 * 55° = 110° (т.к. центральный угол равен дуге, на которую опирается, а вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается).

Тогда ∠СОD = 180° - ∠АОС = 180° - 110° = 70°.

Тогда ∠CAD = 1/2 * ∠СОD = 1/2 * 70° = 35° (т.к. вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается).

Тогда ∠BAD = ∠ВАС + ∠CAD = 35° + 35° = 70°.

Ответ: ∠BAD = 70°