5*. В окружности с центром О проведены диаметр АС и хорда BD, пересекающиеся в точке М, причем ВМ = DM, BAC = 35°. Найдите BAD.

5. Дано: окружность с центром О, диаметр АС, хорда BD, точка пересечения М, ВМ = DM, ∠BAC = 35°.

Найти: ∠BAD.

Решение:

1. Так как ВМ = DM, то хорда BD перпендикулярна диаметру АС (хорда, перпендикулярная диаметру, делится точкой пересечения пополам). Следовательно, ∠ВМА = 90°.
2. Рассмотрим треугольник АВМ: ∠АВМ = 180° - (∠ВМА + ∠ВАС) = 180° - (90° + 35°) = 55°.
3. ∠BOD - центральный угол, опирающийся на дугу BD, и ∠BAD - вписанный угол, опирающийся на эту же дугу. Центральный угол равен 2*∠BAD, а вписанный угол равен половине центрального угла, ∠BAD = ∠BOD/2.
4. ∠ВОС = 90° - ∠ВМА = 90° - 35° = 55°. Так как ОС - радиус, то ΔВОС - равнобедренный, и ∠ОВС = ∠ОСВ = (180° - 55°)/2 = 62,5°.
5. ∠ABD = 180° - 90° - 35° = 55°.

Ответ: Нет решения.