3.В окружности с центром О проведены две параллельные хорды АВ и CD, которые лежат по одну сторону от точки О. АВ = 16 см, CD = 12 см. Найдите расстояние между хордами.

1. Пусть M и N - середины хорд AB и CD соответственно. Тогда OM и ON перпендикулярны AB и CD, и O, M, N лежат на одной прямой (так как хорды параллельны).

2. Найдем радиус окружности. Пусть радиус равен R. Тогда:

• $$AM = AB/2 = 16/2 = 8$$ см
• $$CN = CD/2 = 12/2 = 6$$ см

3. Имеем два прямоугольных треугольника OAM и OCN.

$$R^2 = OM^2 + AM^2$$ $$R^2 = ON^2 + CN^2$$

4. Тогда:

$$OM^2 + 8^2 = ON^2 + 6^2$$ $$OM^2 + 64 = ON^2 + 36$$ $$ON^2 - OM^2 = 28$$

5. Пусть $$ON = x$$, тогда $$OM = x + d$$, где d - расстояние между хордами. Тогда $$OM - ON = d$$.

$$R^2 = ON^2 + 6^2 = x^2 + 36$$ $$R^2 = OM^2 + 8^2 = (x + d)^2 + 64$$

6. Расстояние между хордами d равно |OM - ON|.

7. Предположим, что ON > OM. Тогда ON - OM = d

$$ON^2 - OM^2 = 28 \implies (ON - OM)(ON + OM) = 28 \implies d(ON + OM) = 28$$

8. Расстояние между хордами d. Предположим, что O лежит между хордами. Тогда OM + ON = d.

9. Рассмотрим случай, когда хорды по одну сторону от центра. Пусть ON > OM, тогда ON = OM + d. Тогда:

$$ON^2 - OM^2 = (OM + d)^2 - OM^2 = OM^2 + 2 \cdot OM \cdot d + d^2 - OM^2 = 2 \cdot OM \cdot d + d^2 = 28$$ $$R^2 = OM^2 + 64 = ON^2 + 36$$

10. $$ON^2 = R^2 - 36, OM^2 = R^2 - 64$$

$$ON = \sqrt{R^2 - 36}, OM = \sqrt{R^2 - 64}$$ $$ON^2 - OM^2 = (R^2 - 36) - (R^2 - 64) = 28$$

11. Рассмотрим случай когда центр окружности находится между хордами, тогда расстояние равно OM + ON = d

$$d = ON + OM = \sqrt{R^2 - 36} + \sqrt{R^2 - 64}$$

12. Так как хорды лежат по одну сторону от точки O, то d = |ON - OM|.

$$d = | \sqrt{R^2 - 36} - \sqrt{R^2 - 64} |$$

13. Пусть $$R = 10$$, тогда

$$d = | \sqrt{100 - 36} - \sqrt{100 - 64} | = | \sqrt{64} - \sqrt{36} | = | 8 - 6 | = 2$$

Ответ: 2 см (пример)