3. В окружности с центром O вписан равнобедренный треугольник ABC с основанием AB, равным 12 м. Высота CH равна 2 м. Найдите радиус окружности, если угол C - тупой.

Пусть R - радиус окружности. Так как треугольник ABC равнобедренный с основанием AB, высота CH является и медианой. Значит, AH = HB = AB/2 = 12/2 = 6 м. Пусть O - центр окружности. Центр O лежит на продолжении высоты CH за точку H, так как угол C тупой. Пусть OH = x. Тогда OC = R, и CH = 2 м. Следовательно, CO = R = x + 2. Рассмотрим прямоугольный треугольник AHO. В нем AO = R, AH = 6 м, OH = x. По теореме Пифагора: \[AO^2 = AH^2 + OH^2\] \[R^2 = 6^2 + x^2\] \[(x + 2)^2 = 36 + x^2\] \[x^2 + 4x + 4 = 36 + x^2\] \[4x = 32\] \[x = 8\] Тогда R = x + 2 = 8 + 2 = 10 м. Ответ: 10 м