В окружности с центром в точке О отрезки АС и BD диаметры. Угол AOD равен 148°. Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах.

Решение:

1. Угол AOD является центральным углом, который опирается на дугу AD. Следовательно, градусная мера дуги AD равна градусной мере центрального угла AOD, то есть \( \text{arc}(AD) = 148^{\circ} \).
2. Углы AOD и BOC являются вертикальными, поэтому \( \angle BOC = \angle AOD = 148^{\circ} \).
3. Углы AOD и DOC являются смежными (лежат на диаметре AC), поэтому \( \angle DOC = 180^{\circ} - \angle AOD = 180^{\circ} - 148^{\circ} = 32^{\circ} \).
4. Угол ACB является вписанным углом, который опирается на дугу AB.
5. Найдем градусную меру дуги AB. Дуга AB и дуга BCD вместе составляют полный круг (360°), или дуга AB = дуга AD + дуга DB. Или проще: Дуга AB = 360 - дуга AD - дуга DC - дуга CB.
6. Так как AC и BD — диаметры, то дуга AD = дуга BC = 148°. Это неверно, так как AOD = 148.
7. Угол AOD = 148°. Дуга AD = 148°.
8. Угол DOC = 180° - 148° = 32°. Дуга DC = 32°.
9. Угол COB = 148°. Дуга CB = 148°. (Это не верно, так как AOD и COB вертикальные, а DOC и AOB вертикальные).
10. Пересчитаем:
11. \( \angle AOD = 148^{\circ} \). Дуга AD = 148°.
12. \( \angle DOC = 180^{\circ} - 148^{\circ} = 32^{\circ} \). Дуга DC = 32°.
13. \( \angle COB \) вертикальный с \( \angle AOD \), но это не поможет.
14. AC — диаметр. Дуга ADC = 180°. Дуга ABC = 180°.
15. BD — диаметр. Дуга BDA = 180°. Дуга BCD = 180°.
16. Угол AOD = 148°. Дуга AD = 148°.
17. Дуга AB = 180° (дуга ADB) - 148° (дуга AD) = 32°.
18. Угол ACB — вписанный угол, опирающийся на дугу AB.

\[ \angle ACB = \frac{1}{2} \text{arc}(AB) = \frac{1}{2} \cdot 32^{\circ} = 16^{\circ} \]

Ответ: 16