В основании прямой призмы $$ABCA_1B_1C_1$$ лежит прямоугольный $$\triangle ABC$$ ($$\angle C= 90^\circ$$). Через сторону $$BC$$ и вершину $$A_1$$ проведена плоскость, $$\angle BA_1C = 30^\circ$$, $$AB = 10$$; $$AC = 5$$. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Для решения этой задачи необходимо найти площадь боковой поверхности прямой призмы $$ABCA_1B_1C_1$$. Боковая поверхность состоит из трех прямоугольников.

1. Найдем сторону $$BC$$ из теоремы Пифагора для треугольника $$ABC$$: $$BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{10^2 - 5^2} = \sqrt{100 - 25} = \sqrt{75} = 5\sqrt{3}$$
2. Рассмотрим прямоугольный треугольник $$A_1BC$$. Известно, что $$\angle BA_1C = 30^\circ$$. Найдем высоту призмы $$AA_1$$: $$tg(\angle BA_1C) = \frac{BC}{A_1C}$$ Но нам дан угол $$\angle BA_1C = 30^\circ$$, значит $$A_1A = \frac{BC}{tg(30^\circ)}$$ $$AA_1 = \frac{5\sqrt{3}}{\frac{1}{\sqrt{3}}} = 5\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 15$$
3. Площадь боковой поверхности призмы равна: $$S_{бок} = AB \cdot AA_1 + AC \cdot AA_1 + BC \cdot AA_1$$ $$S_{бок} = 10 \cdot 15 + 5 \cdot 15 + 5\sqrt{3} \cdot 15$$ $$S_{бок} = 150 + 75 + 75\sqrt{3}$$ $$S_{бок} = 225 + 75\sqrt{3}$$ $$S_{бок} = 75(3 + \sqrt{3})$$

Ответ: $$75(3 + \sqrt{3})$$