1) В прямом параллелепипеде $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ $$AB = 1$$; $$BC=7\sqrt{3}$$; $$\angle ABC = 150^\circ$$. Через диагональ $$AC$$ и вершину $$B_1$$ проведена плоскость, составляющая с плоскостью основания угол $$60^\circ$$. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда.

Решение:

1. Для нахождения площади боковой поверхности параллелепипеда нужно найти периметр основания и умножить на высоту.
2. Найдем диагональ $$AC$$ основания, используя теорему косинусов: $$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot cos(\angle ABC)$$ $$AC^2 = 1^2 + (7\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 1 \cdot 7\sqrt{3} \cdot cos(150^\circ)$$ $$AC^2 = 1 + 147 - 14\sqrt{3} \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2})$$ $$AC^2 = 148 + 14 \cdot \frac{3}{2} = 148 + 21 = 169$$ $$AC = \sqrt{169} = 13$$
3. Пусть $$B_1K$$ - перпендикуляр к плоскости основания, тогда $$AK$$ лежит в плоскости основания, и угол $$B_1KA = 60^\circ$$. Треугольник $$B_1KA$$ прямоугольный. Высота $$BB_1 = B_1K$$. Пусть $$OK$$ перпендикулярна $$AC$$, тогда $$B_1O$$ перпендикулярна $$AC$$, и угол $$B_1OK = 60^\circ$$.
4. Найдем площадь треугольника $$ABC$$: $$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot sin(\angle ABC) = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 7\sqrt{3} \cdot sin(150^\circ)$$ $$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 7\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{7\sqrt{3}}{4}$$
5. Высота $$OK$$ треугольника $$ABC$$ равна $$OK = \frac{2S_{ABC}}{AC} = \frac{2 \cdot \frac{7\sqrt{3}}{4}}{13} = \frac{7\sqrt{3}}{26}$$
6. Найдем высоту призмы $$BB_1$$: $$BB_1 = OK \cdot tg(60^\circ) = \frac{7\sqrt{3}}{26} \cdot \sqrt{3} = \frac{21}{26}$$
7. Найдем площадь боковой поверхности параллелепипеда: $$S_{бок} = (2(AB + BC)) \cdot BB_1 = 2(1 + 7\sqrt{3}) \cdot \frac{21}{26} = \frac{21}{13}(1 + 7\sqrt{3})$$

Ответ: $$\frac{21}{13}(1 + 7\sqrt{3})$$