В основании прямой призмы $$ABCA_1B_1C_1$$ лежит прямоугольный треугольник $$ACB$$ ($$\angle C = 90^\circ$$); $$AC = 4$$; $$BC = 3$$. Через сторону $$AC$$ и вершину $$B_1$$ проведена плоскость. $$\angle B_1AC = 60^\circ$$. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Для решения задачи необходимо найти площадь боковой поверхности призмы. Боковая поверхность прямой призмы состоит из прямоугольников, площади которых нужно сложить.

1. Найдем высоту призмы. Рассмотрим прямоугольный треугольник $$B_1AC$$. Известно, что $$\angle B_1AC = 60^\circ$$ и $$AC = 4$$. Используем тангенс угла: $$tg(60^\circ) = \frac{B_1A}{AC}$$ $$B_1A = AC \cdot tg(60^\circ) = 4 \cdot \sqrt{3}$$ Высота призмы $$AA_1 = BB_1 = CC_1 = 4\sqrt{3}$$
2. Найдем гипотенузу $$AB$$ треугольника $$ABC$$: $$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$$
3. Найдем площадь боковой поверхности призмы: $$S_{бок} = AC \cdot AA_1 + BC \cdot BB_1 + AB \cdot CC_1$$ $$S_{бок} = 4 \cdot 4\sqrt{3} + 3 \cdot 4\sqrt{3} + 5 \cdot 4\sqrt{3}$$ $$S_{бок} = 16\sqrt{3} + 12\sqrt{3} + 20\sqrt{3} = 48\sqrt{3}$$

Ответ: $$48\sqrt{3}$$