В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник, один из катетов которого равен 3, а гипотенуза равна √34. Найдите объем призмы, если ее высота равна 6.

Решение:

Объем призмы вычисляется по формуле \( V = S_{осн} \cdot h \).

1. Найдём площадь основания — прямоугольного треугольника. Для этого сначала найдём второй катет, используя теорему Пифагора: \( a^2 + b^2 = c^2 \).
2. Пусть \( a = 3 \) (данный катет), \( c = \sqrt{34} \) (гипотенуза). Тогда \( 3^2 + b^2 = (\sqrt{34})^2 \)
3. \( 9 + b^2 = 34 \)
4. \( b^2 = 34 - 9 = 25 \)
5. \( b = \sqrt{25} = 5 \) (второй катет).
6. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов: \( S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 5 = \frac{15}{2} = 7.5 \).
7. Высота призмы дана по условию: \( h = 6 \).
8. Вычислим объем призмы: \( V = S_{осн} \cdot h = 7.5 \cdot 6 = 45 \).

Ответ: 45.