В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 7 и 8. Боковые рёбра призмы равны $$\frac{10}{\pi}$$. Найдите объём цилиндра, описанного около этой призмы.

Для решения этой задачи необходимо найти радиус основания цилиндра и его высоту, а затем вычислить объем цилиндра.

1. В основании призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 7 и 8. Цилиндр описан около призмы, поэтому гипотенуза прямоугольного треугольника является диаметром основания цилиндра.

2. Найдем гипотенузу (c) прямоугольного треугольника по теореме Пифагора:

$$c = \sqrt{7^2 + 8^2} = \sqrt{49 + 64} = \sqrt{113}$$

3. Радиус основания цилиндра (R) равен половине гипотенузы:

$$R = \frac{\sqrt{113}}{2}$$

4. Высота цилиндра (h) равна боковому ребру призмы, то есть:

$$h = \frac{10}{\pi}$$

5. Объем цилиндра (V) вычисляется по формуле:

$$V = \pi R^2 h = \pi \cdot \left(\frac{\sqrt{113}}{2}\right)^2 \cdot \frac{10}{\pi} = \pi \cdot \frac{113}{4} \cdot \frac{10}{\pi}$$6. Упростим выражение:

$$V = \frac{113 \cdot 10}{4} = \frac{1130}{4} = 282.5$$

Ответ: 282.5