В параллелограмме ABCD известны координаты трёх вершин: А (0; 0), В (5; 0), C (12; 3). Найдите скалярное произведение векторов АВ и AD.

Для решения этой задачи необходимо найти координаты вектора AD, а затем вычислить скалярное произведение векторов AB и AD.

1. Найдем координаты вектора AB:

$$\vec{AB} = B - A = (5 - 0; 0 - 0) = (5; 0)$$

2. Найдем координаты точки D. Так как ABCD - параллелограмм, то \(\vec{AB} = \vec{DC}\). Пусть координаты точки D будут (x; y). Тогда:

$$\vec{DC} = C - D = (12 - x; 3 - y)$$Следовательно:

$$(12 - x; 3 - y) = (5; 0)$$Отсюда:

$$12 - x = 5 \Rightarrow x = 7$$Таким образом, координаты точки D (7; 3).

3. Найдем координаты вектора AD:

$$\vec{AD} = D - A = (7 - 0; 3 - 0) = (7; 3)$$4. Вычислим скалярное произведение векторов AB и AD:

$$\vec{AB} \cdot \vec{AD} = (5 \cdot 7) + (0 \cdot 3) = 35 + 0 = 35$$

Ответ: 35