В основании прямой призмы лежит ромб с пагоналями, равными 40 и 42. Площадь ее верхности равна 7132. Найдите боковое ребра ной призмы.

Решение:

Разберёмся: сначала найдём площадь основания призмы, потом выразим площадь боковой поверхности через боковое ребро, и, наконец, найдём длину бокового ребра.

1. Площадь основания:

   Основание — ромб. Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей:

   \[ S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2 = \frac{1}{2} \cdot 40 \cdot 42 = 840 \]

2. Площадь боковой поверхности:

   Площадь полной поверхности призмы складывается из площади боковой поверхности и удвоенной площади основания:

   \[ S_{бок} = S_{полн} - 2 \cdot S_{осн} = 7132 - 2 \cdot 840 = 7132 - 1680 = 5452 \]

3. Сторона ромба:

   Сторону ромба можно найти, зная его диагонали. Диагонали ромба делят его на 4 равных прямоугольных треугольника, где катеты — половины диагоналей ромба. По теореме Пифагора найдём сторону ромба:

   \[ a = \sqrt{(\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2} = \sqrt{(\frac{40}{2})^2 + (\frac{42}{2})^2} = \sqrt{20^2 + 21^2} = \sqrt{400 + 441} = \sqrt{841} = 29 \]

4. Периметр основания:

   Периметр ромба равен сумме всех его сторон:

   \[ P_{осн} = 4 \cdot a = 4 \cdot 29 = 116 \]

5. Боковое ребро:

   Площадь боковой поверхности равна произведению периметра основания на высоту призмы (боковое ребро):

   \[ h = \frac{S_{бок}}{P_{осн}} = \frac{5452}{116} = 47 \]

Ответ: 47