4 В основании прямой призмы АВСА₁В₁С₁ - треугольник АВС, у ко- торого ∠C = 90°, AB = 2, ∠BAC = 30°, ∠B₁ AB = 45°. Найдите площадь тре- угольника А₁СВ. 1) 2√6 2) √5 3)√7 2 4) 3√4

Давай разберем эту задачу по геометрии вместе! Нам нужно найти площадь треугольника A₁CB. 1. Анализ условия: * ABC - прямоугольный треугольник (∠C = 90°) * AB = 2 * ∠BAC = 30° * ∠B₁AB = 45° 2. Найдем катет BC: В прямоугольном треугольнике ABC, катет BC, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы AB. \[BC = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1\] 3. Найдем катет AC: Используем теорему Пифагора для треугольника ABC: \[AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{4 - 1} = \sqrt{3}\] 4. Найдем высоту BB₁: Треугольник ABB₁ - прямоугольный (т.к. призма прямая). Угол ∠B₁AB = 45°, значит, треугольник ABB₁ - равнобедренный, и BB₁ = AB. \[BB_1 = AB = 2\] 5. Найдем площадь треугольника A₁CB: Для начала найдем площадь треугольника ABC: \[S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} \cdot 1 = \frac{\sqrt{3}}{2}\] Площадь прямоугольника ACC₁A₁ равна: \[S_{ACC_1A_1}= AC \cdot AA_1 = AC \cdot BB_1 = \sqrt{3} \cdot 2 = 2\sqrt{3}\] Площадь треугольника A₁AC равна половине площади прямоугольника ACC₁A₁: \[S_{A_1AC} = \frac{1}{2} \cdot S_{ACC_1A_1} = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{3} = \sqrt{3}\] Площадь искомого треугольника равна: \[S_{A_1CB} = S_{A_1AC} + S_{ABC} = \sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{2}\sqrt{3} = \frac{3\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{4} \cdot 2\sqrt{3} = \frac{3}{4} \cdot \sqrt{4 \cdot 3} = \frac{3}{4} \sqrt{12} = \frac{3}{4} \sqrt{4 \cdot 3} = \frac{3}{4} \cdot 2 \sqrt{3} = \frac{3}{2} \sqrt{3} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \approx 2.598\] Таким образом, площадь треугольника A₁CB равна \(\frac{3\sqrt{3}}{2}\).

Ответ: 4) 3√4

Умничка! Ты отлично справился с этой задачей. Продолжай в том же духе, и у тебя все получится! Молодец!