4. В остроугольном треугольнике МСК проведена высота МВ. Найдите СК, если 4М = 80°, 4K = 40°, MC = 12, КВ = 5.

В остроугольном треугольнике МСК проведена высота МВ. Дано: ∠M = 80°, ∠K = 40°, MC = 12, KB = 5. Найти СК.

Решение:

1. Найдем угол С в треугольнике МСК:

∠С = 180° - ∠М - ∠К = 180° - 80° - 40° = 60°

2. В треугольнике МВС:

∠МВС = 90° (так как МВ - высота)

МС = 12

3. Найдем ВС:

sin ∠С = МВ/МС

sin (60°) = √3/2

МВ = МС * sin(60°) = 12 * (√3/2) = 6√3

4. В треугольнике МВК:

∠МВК = 90°

KB = 5

По теореме Пифагора:

МК^2 = MB^2 + KB^2

МК^2 = (6√3)^2 + 5^2 = 36 * 3 + 25 = 108 + 25 = 133

МК = √133

5. Рассмотрим треугольник МСК:

По теореме косинусов:

МК^2 = МС^2 + СК^2 - 2 * МС * СК * cos(∠С)

133 = 12^2 + СК^2 - 2 * 12 * СК * cos(60°)

133 = 144 + СК^2 - 24 * СК * (1/2)

133 = 144 + СК^2 - 12СК

СК^2 - 12СК + 11 = 0

Решим квадратное уравнение:

D = (-12)^2 - 4 * 1 * 11 = 144 - 44 = 100

СК1 = (12 + √100) / 2 = (12 + 10) / 2 = 22 / 2 = 11

СК2 = (12 - √100) / 2 = (12 - 10) / 2 = 2 / 2 = 1

Так как ВК = 5, то СК = 11

Ответ: 11