В остроугольных треугольниках ABC и A₁B₁C₁ провели высоты BD и B₁D₁. Докажите, что если AB = A₁B₁, \( \angle A = \angle A_1 \) и \( \angle DBC = \angle D_1B_1C_1 \), то \( \triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1 \).

Доказательство:

1. Рассмотрим прямоугольные треугольники ABD и A₁B₁D₁ (поскольку BD и B₁D₁ — высоты, \( \angle BDA = \angle B_1D_1A_1 = 90^\circ \)).
2. По условию \( AB = A_1B_1 \) (гипотенузы равны) и \( \angle A = \angle A_1 \).
3. Следовательно, по гипотенузе и острому углу, \( \triangle ABD = \triangle A_1B_1D_1 \). Из равенства треугольников следует, что \( BD = B_1D_1 \) и \( AD = A_1D_1 \).
4. Теперь рассмотрим прямоугольные треугольники BDC и B₁D₁C₁ (\( \angle BDC = \angle B_1D_1C_1 = 90^\circ \)).
5. По условию \( \angle DBC = \angle D_1B_1C_1 \).
6. Мы уже доказали, что \( BD = B_1D_1 \) (катеты равны).
7. Следовательно, по катету и прилежащему острому углу, \( \triangle BDC = \triangle B_1D_1C_1 \). Из равенства треугольников следует, что \( BC = B_1C_1 \) и \( DC = D_1C_1 \).
8. Теперь рассмотрим треугольники ABC и A₁B₁C₁.
9. Мы имеем: \( AB = A_1B_1 \) (по условию), \( BC = B_1C_1 \) (доказано), \( AC = AD + DC \) и \( A_1C_1 = A_1D_1 + D_1C_1 \). Так как \( AD = A_1D_1 \) и \( DC = D_1C_1 \), то \( AC = A_1C_1 \).
10. Следовательно, по трем сторонам (AB = A₁B₁, BC = B₁C₁, AC = A₁C₁), \( \triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1 \).

Доказано.