В прямоугольном треугольнике ABC (\( \angle C = 90^\circ \)) проведите высоту CD. Найдите отрезок BD, если AB = 8 см, BC = 4 см.

Решение:

1. Дан прямоугольный треугольник ABC, \( \angle C = 90^\circ \), AB = 8 см, BC = 4 см. Проведена высота CD.
2. По теореме Пифагора в \( \triangle ABC \) найдём катет AC: \( AC^2 = AB^2 - BC^2 \) \( AC^2 = 8^2 - 4^2 \) \( AC^2 = 64 - 16 \) \( AC^2 = 48 \) \( AC = \sqrt{48} = 4\sqrt{3} \) см.
3. Площадь \( \triangle ABC \) можно найти двумя способами: \( S = \frac{1}{2} · AC · BC \) и \( S = \frac{1}{2} · AB · CD \).
4. Отсюда \( AC · BC = AB · CD \).
5. Вычислим высоту CD: \( 4\sqrt{3} · 4 = 8 · CD \) \( 16\sqrt{3} = 8 · CD \) \( CD = \frac{16\sqrt{3}}{8} = 2\sqrt{3} \) см.
6. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник BDC (\( \angle CDB = 90^\circ \)).
7. По теореме Пифагора найдём отрезок BD: \( BD^2 = BC^2 - CD^2 \) \( BD^2 = 4^2 - (2\sqrt{3})^2 \) \( BD^2 = 16 - (4 · 3) \) \( BD^2 = 16 - 12 \) \( BD^2 = 4 \) \( BD = 2 \) см.

Ответ: 2 см.