12. В параллелограмме \(ABCD\) точка \(M\) — середина стороны \(CD\). Известно, что \(MA = MB\). Докажите, что данный параллелограмм — прямоугольник.

Доказательство:

• Пусть \(ABCD\) — параллелограмм, точка \(M\) — середина стороны \(CD\), \(MA = MB\).
• Так как \(M\) — середина \(CD\), то \(CM = MD\).
• \(ABCD\) — параллелограмм, значит, \(AB = CD\) и \(AB \parallel CD\).
• Так как \(M\) — середина \(CD\), то \(CM = MD = \frac{1}{2}CD = \frac{1}{2}AB\).
• Рассмотрим треугольник \(ABM\): \(MA = MB\), значит, он равнобедренный.
• Проведем высоту \(MH\) к основанию \(AB\). В равнобедренном треугольнике высота является и медианой, значит, \(AH = HB = \frac{1}{2}AB\).
• Следовательно, \(AH = HB = CM = MD\).
• Рассмотрим четырехугольник \(AMDH\): \(MD \parallel AH\) и \(MD = AH\), значит, \(AMDH\) — параллелограмм.
• Аналогично, \(MBCN\) — параллелограмм.
• Так как \(MH\) — высота, то \(\angle MHA = 90^\circ\).
• Значит, \(\angle ADH = 90^\circ\) (как угол параллелограмма \(AMDH\)).
• Так как в параллелограмме \(ABCD\) угол \(A\) прямой, то этот параллелограмм — прямоугольник.