18.5 В параллелограмме АABCD биссектриса угла А, равного 60°, пересекает сторону ВС в точке М. Отрезки АМ и DM перпендикулярны. Найдите периметр параллелограмма, если АВ = 6.

Решение:

• Так как AM – биссектриса угла A, то угол BAM равен половине угла A, то есть 60° / 2 = 30°.
• Так как AM и DM перпендикулярны, то угол AMD равен 90°.
• Рассмотрим треугольник AMD: угол MAD + угол ADM + угол AMD = 180°. Угол MAD = 30°, угол AMD = 90°, следовательно, угол ADM = 180° - 90° - 30° = 60°.
• В треугольнике ABM угол ABM = 60°, угол BAM = 30°, следовательно, угол AMB = 180° - 60° - 30° = 90°. Значит, треугольник ABM – прямоугольный.
• Так как AB = 6, то BM = AB * cos(60°) = 6 * 0.5 = 3.
• Так как AM – биссектриса угла A, то BM = MC. Следовательно, BC = 2 * BM = 2 * 3 = 6.
• Периметр параллелограмма ABCD равен 2 * (AB + BC) = 2 * (6 + 6) = 2 * 12 = 24.

Ответ: Периметр параллелограмма равен 24.