5. В параллелограмме ABCD AB = 7 см, АС = 13 см, ∠D= = 120°. Найдите периметр параллелограмма.

В параллелограмме ABCD, AB = 7 см, AC = 13 см, ∠D = 120°. Найдем периметр параллелограмма.

Так как ∠D = 120°, то ∠B = 120° (противоположные углы параллелограмма равны), а ∠A = 180° - 120° = 60° (сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°).

Рассмотрим треугольник ABC. Применим теорему косинусов для стороны AC:

$$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot cosB$$

Подставим известные значения:

$$13^2 = 7^2 + BC^2 - 2 \cdot 7 \cdot BC \cdot cos120°$$

$$169 = 49 + BC^2 - 14 \cdot BC \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)$$

$$169 = 49 + BC^2 + 7BC$$

$$BC^2 + 7BC - 120 = 0$$

Решим квадратное уравнение относительно BC:

$$D = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-120) = 49 + 480 = 529$$

$$BC_1 = \frac{-7 + \sqrt{529}}{2} = \frac{-7 + 23}{2} = \frac{16}{2} = 8$$

$$BC_2 = \frac{-7 - 23}{2} = \frac{-30}{2} = -15$$

Так как длина стороны не может быть отрицательной, то BC = 8 см.

Периметр параллелограмма равен:

$$P = 2 \cdot (AB + BC) = 2 \cdot (7 + 8) = 2 \cdot 15 = 30 \text{ см}$$

Ответ: Периметр параллелограмма равен 30 см.