В параллелограмме ABCD биссектриса острого угла равного 60°, делит сторону параллелограмма на отрезки 25 и 15 см, начиная от вершины тупого угла. Найдите биссектрису, меньшую диагональ и площадь параллелограмма.

Пусть острый угол параллелограмма равен 60°, а биссектриса пересекает противоположную сторону. Эта сторона разделена на отрезки 25 см и 15 см, причём отрезок, отсчитываемый от тупого угла, равен 25 см. В параллелограмме расстояние от тупой вершины до точки пересечения биссектрисы с противоположной стороной равно прилежащей к острому углу стороне. Значит, эта сторона равна 25 см, а другая сторона параллелограмма равна 25 + 15 = 40 см.

Длина биссектрисы. Биссектриса делит угол 60° пополам. В образованном треугольнике с углами 30°, 60° и 90° сторона длиной 25 см лежит напротив угла 30°, поэтому биссектриса равна 25√3 см.

Меньшая диагональ находится по теореме косинусов:

d² = 25² + 40² − 2 · 25 · 40 · cos 60° = 625 + 1600 − 1000 = 1225.

Значит, d = 35 см.

Площадь параллелограмма равна произведению смежных сторон на синус угла между ними:

S = 25 · 40 · sin 60° = 1000 · √3/2 = 500√3 см².

Ответ: биссектриса — 25√3 см; меньшая диагональ — 35 см; площадь — 500√3 см².