№3 В параллелограмме ABCD биссектриса угла А, равного 60°, пересекает сторону ВС в точке М. Отрезки АМ и DM перпендикулярны. Найдите периметр параллелограмма, если АВ = 4.

Question

Вопрос:

№3 В параллелограмме ABCD биссектриса угла А, равного 60°, пересекает сторону ВС в точке М. Отрезки АМ и DM перпендикулярны. Найдите периметр параллелограмма, если АВ = 4.

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

Ответ: 24

Краткое пояснение: Используем свойства параллелограмма и биссектрисы угла, а также признаки равнобедренного треугольника.

Дано: параллелограмм ABCD, ∠A = 60°, AM – биссектриса угла A, AM ⊥ DM, AB = 4.

Найти: P (периметр) параллелограмма ABCD.

Т.к. AM – биссектриса угла A, то ∠BAM = ∠MAD = 60°/2 = 30°.
Т.к. AM ⊥ DM, то ∠AMD = 90°.
В треугольнике AMD: ∠MAD = 30°, ∠AMD = 90°, следовательно, ∠ADM = 180° - 90° - 30° = 60°.
Т.к. AD || BC, то ∠MAD = ∠AMB = 30° (как накрест лежащие углы).
В треугольнике ABM: ∠BAM = ∠AMB = 30°, следовательно, треугольник ABM – равнобедренный, и AB = BM = 4.
Т.к. AM ⊥ DM, то ∠AMD = 90°.
Т.к. AD || BC, то ∠MAD = ∠AMB = 30° (как накрест лежащие углы).
В треугольнике ABM: ∠BAM = ∠AMB = 30°, следовательно, треугольник ABM – равнобедренный, и AB = BM = 4.
В треугольнике AMD: ∠MAD = 30°, ∠AMD = 90°, следовательно, ∠ADM = 180° - 90° - 30° = 60°.
В треугольнике AMD сумма углов ∠AMD + ∠ADM + ∠DAM = 180°, т.е. 90 + 60 + 30 = 180°.
Т.к. ABCD – параллелограмм, то AB = CD = 4.
Углы ∠AMD = 90° и \(∠ADM = 60^\circ\). Следовательно, AD = 2 \cdot AM
Рассмотрим треугольник AMD. Угол ∠MAD = 30. MD = 1/2 AD. AD = \(2 \cdot AM\)
∠ADM = 60, следовательно \(AM = MD = 4\).
Получаем AD = 8. BC = 8
Т.к. ∠A = 60°, а ∠A + ∠B = 180° (как односторонние углы при параллельных прямых), то ∠B = 180° - 60° = 120°.
Рассмотрим треугольник ABM, AB = BM = 4, ∠ABM = 120°.
Т.к. BC = BM + MC, то BC = 4 + MC.
Т.к. AD = BC, то AD = 4 + MC.
Т.к. AM – биссектриса угла A, то ∠BAM = ∠MAD = 30°.
Т.к. AM ⊥ DM, то ∠AMD = 90°.
В треугольнике AMD: ∠MAD = 30°, ∠AMD = 90°, следовательно, ∠ADM = 180° - 90° - 30° = 60°.
В треугольнике ABM: ∠BAM = ∠AMB = 30°, следовательно, треугольник ABM – равнобедренный, и AB = BM = 4.
Значит, AD = BC = 8.
Периметр параллелограмма ABCD: P = 2 \cdot (AB + AD) = 2 \cdot (4 + 8) = 2 \cdot 12 = 24.

Ответ: 24

Тайм-трейлер: Энергия: 100%

Тайм-менеджмент уровня Бог: задача решена за секунды. Свобода!

Выручи свою тиму — отправь ссылку другу. Карма +100 обеспечена

Ответ:

Похожие