В параллелограмме ABCD биссектрисы углов A и C пересекают стороны BC и AD в точках M и K соответственно так, что AK = 4 см, BM = 6 см. Найдите периметр ABCD.

Пусть AK - биссектриса угла A, а CM - биссектриса угла C. Так как AK является биссектрисой угла A, то ∠BAK = ∠KAD. Аналогично, так как CM является биссектрисой угла C, то ∠BCM = ∠MCD.

Поскольку ABCD - параллелограмм, то AD || BC, и углы BAK и AKB являются внутренними накрест лежащими углами, а значит ∠BAK = ∠AKB. Отсюда следует, что ∠AKB = ∠KAD, и треугольник ABK - равнобедренный, а значит AB = BK.

Аналогично, ∠BCM = ∠AMC как внутренние накрест лежащие углы при AD || BC и секущей CM, то ∠BCM = ∠MCD, следовательно треугольник CDM - равнобедренный, и CD = DM.

Так как ABCD - параллелограмм, то AB = CD и AD = BC.

По условию AK = 4 см и BM = 6 см. Пусть AB = x, тогда BK = AB = x. Так как BC = BM + MC, то BC = 6 см + MC. Так как AD = AK + KD, то AD = 4 см + KD.

Поскольку AD = BC, то 4 см + KD = 6 см + MC, и KD - MC = 2 см. Так как AB = CD, то AB = DM = x. Так как AD = AK + KD = 4 см + KD и BC = BM + MC = 6 см + MC, то AD = BC. Значит, AK + KD = BM + MC, откуда 4 см + KD = 6 см + MC. Получаем KD = MC + 2 см.

Периметр параллелограмма ABCD равен P = 2(AB + BC) = 2(x + 6 + MC). Чтобы найти x, необходимо найти AK = MC. Так как AB = CD, а AK = MC, тогда AB = BK + KD. А AB = AK + AD = 4 + AD.

Так как AB = AK (биссектриса угла А), то AB = BK = 4. Также BC = BM + MC = 6 + 4 = 10.

Периметр равен P = 2(4 + 10) = 28 см.

Ответ: 28 см