12. В параллелограмме ABCD диагональ AC в 2 раза больше стороны AB и ∠ACD = 104°. Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Для решения этой задачи, нам потребуется воспользоваться свойствами параллелограмма, диагоналей и соотношением сторон. 1. **Анализ условия:** * ABCD - параллелограмм. * AC = 2 * AB * ∠ACD = 104° 2. **Свойства параллелограмма:** * Противоположные стороны параллельны: AB || CD и BC || AD. * Противоположные углы равны: ∠BAD = ∠BCD и ∠ABC = ∠ADC. * Диагонали в точке пересечения делятся пополам. 3. **Найдем ∠CAB:** * ∠ACD = ∠CAB (как накрест лежащие углы при параллельных прямых AB и CD и секущей AC). * Следовательно, ∠CAB = 104°. 4. **Рассмотрим треугольник ABC:** * Пусть AB = x, тогда AC = 2x. * Применим теорему косинусов для треугольника ABC: $$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 * AB * AC * cos(∠CAB)$$ * $$BC^2 = x^2 + (2x)^2 - 2 * x * 2x * cos(104°)$$ * $$BC^2 = x^2 + 4x^2 - 4x^2 * cos(104°)$$ * $$BC^2 = 5x^2 - 4x^2 * cos(104°)$$ 5. **Найдем ∠ABC:** * Применим теорему синусов для треугольника ABC: $$\frac{AC}{sin(∠ABC)} = \frac{AB}{sin(∠ACB)}$$ * $$\frac{2x}{sin(∠ABC)} = \frac{x}{sin(∠ACB)}$$ * $$2 * sin(∠ACB) = sin(∠ABC)$$ 6. **Найдем ∠ACB:** * ∠BAC + ∠ABC + ∠ACB = 180° * 104° + ∠ABC + ∠ACB = 180° * ∠ABC + ∠ACB = 76° 7. **Найдем ∠ADC:** * ∠ADC = ∠ABC (свойство параллелограмма) 8. **Угол между диагоналями:** * Пусть O - точка пересечения диагоналей AC и BD. * Рассмотрим треугольник AOB. Угол между диагоналями - это угол AOB или BOC. Эти углы смежные, поэтому их сумма 180°. Значит, достаточно найти один из них. * ∠AOB = 180° - (∠OAB + ∠OBA) * ∠OAB = ∠CAB = 104° * ∠OBA = 1/2 * ∠ABC (диагональ параллелограмма является биссектрисой) * Чтобы найти ∠ABC, сначала найдем ∠ACB из уравнения: $$2sin(∠ACB) + ∠ACB = 76°$$ * Решая это уравнение численными методами, получаем ∠ACB ≈ 25.15°. * ∠ABC = 76° - ∠ACB = 76° - 25.15° ≈ 50.85°. * ∠OBA = 1/2 * ∠ABC = 1/2 * 50.85° ≈ 25.425°. * ∠AOB = 180° - (104° + 25.425°) = 180° - 129.425° ≈ 50.575°. **Ответ:** Угол между диагоналями параллелограмма равен приблизительно 51°.