В параллелограмме ABCD диагональ АС в 2 раза больше стороны АВ и ∠ACD = 17°. Найдите меньший угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Пусть AB = a, тогда AC = 2a. В треугольнике ABC, по теореме косинусов: BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 * AB * AC * cos(∠BAC). В параллелограмме ABCD, ∠BAC = ∠ACD = 17°. Следовательно, BC^2 = a^2 + (2a)^2 - 2 * a * 2a * cos(17°) = 5a^2 - 4a^2 * cos(17°). В треугольнике ACD, CD = AB = a. По теореме косинусов: AD^2 = AC^2 + CD^2 - 2 * AC * CD * cos(∠ACD) = (2a)^2 + a^2 - 2 * 2a * a * cos(17°) = 5a^2 - 4a^2 * cos(17°). Так как AD = BC, то треугольник ABC и ADC равны. Угол между диагоналями можно найти, используя теорему косинусов для треугольника, образованного половинами диагоналей и стороной параллелограмма. Пусть диагонали пересекаются в точке О. В треугольнике AOD, AO = AC/2 = a, OD = BD/2. В треугольнике AOB, AO = a, OB = BD/2, AB = a. Угол ∠AOD + ∠AOB = 180°. Используя теорему косинусов в треугольнике AOB: AB^2 = AO^2 + OB^2 - 2 * AO * OB * cos(∠AOB). a^2 = a^2 + OB^2 - 2 * a * OB * cos(∠AOB). OB^2 = 2 * a * OB * cos(∠AOB). OB = 2a * cos(∠AOB). В треугольнике AOD: AD^2 = AO^2 + OD^2 - 2 * AO * OD * cos(∠AOD). AD^2 = a^2 + OB^2 - 2 * a * OB * cos(180° - ∠AOB) = a^2 + OB^2 + 2 * a * OB * cos(∠AOB). Так как AD = BC, то AD^2 = 5a^2 - 4a^2 * cos(17°). Подставляя OB, получаем: 5a^2 - 4a^2 * cos(17°) = a^2 + (2a * cos(∠AOB))^2 + 2 * a * (2a * cos(∠AOB)) * cos(∠AOB) = a^2 + 4a^2 * cos^2(∠AOB) + 4a^2 * cos^2(∠AOB) = a^2 + 8a^2 * cos^2(∠AOB). 4 - 4 * cos(17°) = 8 * cos^2(∠AOB). cos^2(∠AOB) = (4 - 4 * cos(17°)) / 8 = (1 - cos(17°)) / 2. Используя формулу половинного угла, cos^2(x) = (1 - cos(2x)) / 2, получаем cos^2(∠AOB) = sin^2(17°/2). Следовательно, cos(∠AOB) = sin(17°/2) = cos(90° - 17°/2) = cos(81.5°). Угол ∠AOB = 81.5°. Меньший угол между диагоналями равен 180° - 81.5° = 98.5° или 81.5°. Так как ∠ACD = 17°, то угол между диагоналями меньше 90°. Угол между диагоналями равен 81.5°.