В прямоугольном треугольнике АВС катет АС = 35, а высота СН, опущенная на гипотенузу, равна 14√6. Найдите Sin ∠ABC.

В прямоугольном треугольнике ABC, sin ∠ABC = AC/AB. Также, площадь треугольника равна (1/2) * AB * CH = (1/2) * AC * BC. Из подобия треугольников ACH и CBH, CH² = AH * HB. Из подобия треугольников ABC и ACH, AC² = AH * AB. Из подобия треугольников ABC и CBH, BC² = HB * AB. Из AC² = AH * AB, получаем AH = AC²/AB = 35²/AB. Из CH² = AH * HB, и HB = AB - AH, получаем CH² = AH * (AB - AH). Подставляем известные значения: (14√6)² = (35²/AB) * (AB - 35²/AB). 196 * 6 = 1176 = (1225/AB) * (AB - 1225/AB). 1176 = 1225 - 1225²/AB². 1225²/AB² = 1225 - 1176 = 49. AB² = 1225²/49 = (35²/7)² = 35². AB = 35. Это противоречит условию, что CH является высотой на гипотенузу. Пересчитаем. Из подобия треугольников ABC и ACH, AC/AB = CH/BC. Из подобия треугольников ABC и CBH, BC/AB = CH/AC. Из этого следует, что AC * BC = AB * CH. Также, AC² = AH * AB и BC² = BH * AB. Из sin ∠ABC = AC/AB. Из sin ∠A = CH/AC. sin ∠A = 14√6 / 35 = 2√6 / 5. cos ∠A = √(1 - sin²∠A) = √(1 - (2√6/5)²) = √(1 - 24/25) = √(1/25) = 1/5. cos ∠A = AC/AB. AB = AC / cos ∠A = 35 / (1/5) = 175. sin ∠ABC = AC/AB = 35/175 = 1/5.