В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке O, а M — середина AB. Дано: $\overrightarrow{DA}=\vec a$, $\overrightarrow{DC}=\vec b$. Найти векторы $\overrightarrow{DB}$, $\overrightarrow{DM}$, $\overrightarrow{AC}$ и $\overrightarrow{DO}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке O, а M — середина AB. Дано: $\overrightarrow{DA}=\vec a$,…$ Фото задания

В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке O, а M — середина AB. Дано: $\overrightarrow{DA}=\vec a$, $\overrightarrow{DC}=\vec b$. Найти векторы $\overrightarrow{DB}$, $\overrightarrow{DM}$, $\overrightarrow{AC}$ и $\overrightarrow{DO}$.

Accepted Answer

Возьмём точку D за начало отсчёта. Тогда положение точек A и C задаётся векторами $\vec a$ и $\vec b$. В параллелограмме $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}=\vec b$.

$\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AB}=\vec a+\vec b$.
М — середина AB, поэтому $\overrightarrow{DM}=\frac12(\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB})=\frac12(\vec a+(\vec a+\vec b))=\vec a+\frac12\vec b$.
$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{DA}=\vec b-\vec a$.
Диагонали делятся пополам, следовательно, $\overrightarrow{DO}=\frac12\overrightarrow{DB}=\frac12(\vec a+\vec b)$.

Ответ: $\overrightarrow{DB}=\vec a+\vec b$, $\overrightarrow{DM}=\vec a+\frac12\vec b$, $\overrightarrow{AC}=\vec b-\vec a$, $\overrightarrow{DO}=\frac12(\vec a+\vec b)$.