В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке O, а M — середина BC. Дано: $\overrightarrow{AB}=\vec a$, $\overrightarrow{AD}=\vec b$. Найти векторы $\overrightarrow{AO}$, $\overrightarrow{OD}$, $\overrightarrow{AM}$ и $\overrightarrow{AD}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке O, а M — середина BC. Дано: $\overrightarrow{AB}=\vec a$,…$ Фото задания

В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке O, а M — середина BC. Дано: $\overrightarrow{AB}=\vec a$, $\overrightarrow{AD}=\vec b$. Найти векторы $\overrightarrow{AO}$, $\overrightarrow{OD}$, $\overrightarrow{AM}$ и $\overrightarrow{AD}$.

Accepted Answer

Положим начало отсчёта в точке A. Тогда $\overrightarrow{AB}=\vec a$, $\overrightarrow{AD}=\vec b$, а $\overrightarrow{AC}=\vec a+\vec b$.

Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, поэтому $\overrightarrow{AO}=\frac12\overrightarrow{AC}=\frac12(\vec a+\vec b)$.
Так как $\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AO}$, получаем $\overrightarrow{OD}=\vec b-\frac12(\vec a+\vec b)=\frac12(\vec b-\vec a)$.
Вектор $\overrightarrow{BC}=\vec b$. Поскольку M — середина BC, $\overrightarrow{BM}=\frac12\vec b$, откуда $\overrightarrow{AM}=\vec a+\frac12\vec b$.

Ответ: $\overrightarrow{AO}=\frac12(\vec a+\vec b)$, $\overrightarrow{OD}=\frac12(\vec b-\vec a)$, $\overrightarrow{AM}=\vec a+\frac12\vec b$, $\overrightarrow{AD}=\vec b$.