1. В параллелограмме ABCD LA=45°, AB=3√2, ВС=5. Найти скалярное векторов: a) ADAB; 6) BABC; B) AD BH

1. В параллелограмме ABCD ∠A=45°, AB=3√2, BC=5. Найти скалярное произведение векторов:

a) $$ \vec{AD} \cdot \vec{AB} $$

Т.к. ABCD - параллелограмм, то AD = BC = 5.

Скалярное произведение векторов находится по формуле: $$ \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot cos(\alpha) $$, где $$ \alpha $$ - угол между векторами.

В нашем случае: $$ \vec{AD} \cdot \vec{AB} = |\vec{AD}| \cdot |\vec{AB}| \cdot cos(45°) = 5 \cdot 3\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 5 \cdot 3 \cdot 1 = 15 $$.

б) $$ \vec{BA} \cdot \vec{BC} $$

$$ \vec{BA} \cdot \vec{BC} = |\vec{BA}| \cdot |\vec{BC}| \cdot cos(135°) = 3\sqrt{2} \cdot 5 \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -15 $$.

в) $$ \vec{AD} \cdot \vec{BH} $$

BH - высота в параллелограмме. Рассмотрим треугольник ABH. В нём угол A = 45°, AB = $$3\sqrt{2}$$. Тогда $$BH = AB \cdot sin(45°) = 3\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 3$$.

Угол между векторами AD и BH равен 90°, т.к. BH - высота.

Тогда $$ \vec{AD} \cdot \vec{BH} = |\vec{AD}| \cdot |\vec{BH}| \cdot cos(90°) = 5 \cdot 3 \cdot 0 = 0 $$.

Ответ: а) 15; б) -15; в) 0