25 В параллелограмме ABCD проведена диагональ АС. Точка О является центром окружности, вписанной в треугольник АВС. Расстояния от точки О до точки А и прямых AD и АС соответственно равны 17, 12 и 8. Найдите площадь параллелограмма ABCD.

Решение:

Пусть r - расстояние от точки O до прямой AC, равное 8. Пусть h - расстояние от точки O до прямой AD, равное 12. Пусть R - расстояние от точки O до точки A, равное 17. Так как точка O является центром окружности, вписанной в треугольник ABC, расстояния от точки O до сторон треугольника ABC равны радиусу вписанной окружности.

Расстояние от точки O до прямой AC равно 8, следовательно, радиус вписанной в треугольник ABC окружности равен 8.

Опустим перпендикуляр OH на сторону AD, тогда OH = 12. Следовательно, высота параллелограмма, проведенная к стороне AD, равна 2 * OH = 24.

Так как AO = 17, AO является радиусом описанной окружности.

Площадь параллелограмма ABCD равна S = a * h, где a - длина стороны AD, h - высота, проведенная к стороне AD. Высота известна, h = 24. Для нахождения стороны a рассмотрим треугольник AOD. В нем AO = 17, OD = R, AD = a. Площадь треугольника AOD равна половине произведения основания на высоту, S = 1/2 * AD * OH = 1/2 * a * 12 = 6a.

Площадь параллелограмма равна S = ah = a * 24.

Ответ: Нет решения.