24 В треугольнике АВС с тупым углом ВАС проведены высоты ВВ₁ и СС1. Докажите, что треугольники АВ₁С₁ и АВС подобны.

Доказательство:

1) Рассмотрим треугольник ABC, в котором угол BAC — тупой. Проведены высоты BB₁ и CC₁.

2) Рассмотрим четырехугольник AB₁HC₁, где H – точка пересечения высот BB₁ и CC₁ (ортоцентр треугольника ABC). Поскольку BB₁ и CC₁ — высоты, то углы AB₁H и AC₁H прямые, то есть ∠AB₁H = 90° и ∠AC₁H = 90°.

3) Сумма углов в четырехугольнике равна 360°. Следовательно, в четырехугольнике AB₁HC₁:

$$∠BAC + ∠AB₁H + ∠AC₁H + ∠B₁HC₁ = 360°$$

$$∠BAC + 90° + 90° + ∠B₁HC₁ = 360°$$ $$∠BAC + ∠B₁HC₁ = 180°$$

4) Углы B₁HC₁ и B₁AC₁ являются смежными, поэтому:

$$∠B₁HC₁ + ∠B₁AC₁ = 180°$$

5) Из пунктов 3 и 4 следует, что ∠BAC = ∠B₁HC₁.

6) Рассмотрим треугольники AB₁C₁ и ABC. У них угол A – общий. Также, как доказано выше, ∠BAC = ∠B₁HC₁.

7) Так как у треугольников AB₁C₁ и ABC два угла равны (общий угол A и ∠BAC = ∠B₁HC₁), то эти треугольники подобны по первому признаку подобия треугольников (по двум углам).

Следовательно, треугольники AB₁C₁ и ABC подобны.