4. В параллелограмме $$EDNM$$ (см. рис. 84) диагональ $$MD$$ в 2 раза больше стороны $$EM$$, $$\angle MDN = 98^\circ$$. Найдите острый угол между диагоналями параллелограмма.

Пусть $$EM = x$$, тогда $$MD = 2x$$. Рассмотрим треугольник $$EMD$$. В этом треугольнике $$EM = x$$, $$MD = 2x$$. Так как $$EDNM$$ - параллелограмм, то $$EM = DN = x$$. Таким образом, в треугольнике $$MDN$$ $$MD = 2x$$, $$DN = x$$, $$\angle MDN = 98^\circ$$. Нужно найти угол между диагоналями.

В параллелограмме $$EDNM$$ диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Обозначим точку пересечения диагоналей как $$О$$. Следовательно, $$MO = \frac{1}{2}MD = x$$ и $$EO = \frac{1}{2}EN$$. Так как $$DN = x$$, то $$MO = DN = x$$.

Треугольник $$DON$$ - равнобедренный, так как $$DN = ON = x$$. Следовательно, $$\angle DNO = \angle DON$$. Найдем $$\angle DNO$$:$$\angle DNO = \frac{180^\circ - \angle MDN}{2} = \frac{180^\circ - 98^\circ}{2} = \frac{82^\circ}{2} = 41^\circ$$Тогда $$\angle DON = 41^\circ$$$\angle EOD = 180^\circ - \angle DON = 180^\circ - 41^\circ = 139^\circ$$.Так как сумма смежных углов равна $$180^\circ$$, то острый угол между диагоналями равен: $$angle MON = 180^\circ - 139^\circ = 41^\circ$$

Ответ: $$41^\circ$$