4. В параллелограмме EDNM (см. рис. 84) диагональ MD в 2 раза больше стороны ЕМ, ∠MDN = 98°. Найдите острый угол между диагоналями параллелограмма.

Пусть ЕМ = х, тогда MD = 2х.

Рассмотрим треугольник EDM. Так как ED = MN (противоположные стороны параллелограмма), то треугольник EDM равнобедренный (ED = EM = x).

∠EMD = ∠EDM (углы при основании равнобедренного треугольника).

∠END = ∠EMD (накрест лежащие углы при параллельных прямых ED и MN и секущей EN).

∠EDM = ∠END.

Рассмотрим треугольник MDN. ∠MDN = 98°.

∠MND = 180° - ∠END - ∠MDN = 180° - ∠EDM - 98° = 82° - ∠EDM

∠DMN = ∠EDM (накрест лежащие углы при параллельных прямых ED и MN и секущей DM).

В треугольнике MDN: ∠MDN + ∠DMN + ∠MND = 180°

98° + ∠EDM + 82° - ∠EDM = 180°

180° = 180°

Это не дает нам информации об угле между диагоналями.

Пусть O - точка пересечения диагоналей.

Тогда ∠MON - острый угол между диагоналями.

В параллелограмме диагонали делятся пополам в точке пересечения.

EO = ON

MO = OD

Рассмотрим треугольник MON: MN = ED

Обозначим угол между диагоналями за α.

cos α = $$ \frac{MO^2+ON^2-MN^2}{2MO cdot ON} $$

cos α = $$ \frac{(x)^2+(0.5x)^2-(x)^2}{2 cdot x cdot 0.5x} = \frac{0.25x^2}{x^2} = 0.25 $$

α = arccos(0.25) ≈ 75.52°

Ответ: 75.52°