4. В параллелограмме EDNM (см. рис. 84) диагональ MD в 2 раза больше стороны ЕМ, LMDN 98°. Найдите острый угол между диагоналями параллелограмма.

Пусть EM = x, тогда MD = 2x.

В параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам. Пусть O — точка пересечения диагоналей.

Тогда EO = x/2, MO = x, DO = x.

Рассмотрим треугольник MOD. В нем известны стороны MO = x, DO = x и угол ∠MDN = 98°.

Так как MO = DO, треугольник MOD равнобедренный, следовательно, углы при основании равны:

∠OMD = ∠ODM = (180° - 98°) / 2 = 82° / 2 = 41°

∠EMD = ∠EMN - ∠DMN = 98° - 41° = 57°

Ответ: Острый угол между диагоналями параллелограмма равен 57°.