4. В параллелограмме $$EDNM$$ (см. рис. 84) диагональ $$MD$$ в 2 раза больше стороны $$EM$$, найдите острый угол между диагоналями параллелограмма.

Пусть $$EM = x$$, тогда $$MD = 2x$$. Обозначим точку пересечения диагоналей за $$O$$. Тогда $$EO = \frac{x}{2}$$, $$MO = \frac{x}{2}$$, $$DO = x$$. Рассмотрим треугольник $$EOD$$. В нем $$EO = \frac{1}{2}DO$$. Значит, синус угла $$EDO$$ равен $$\frac{1}{2}$$, а угол $$EDO = 30°$$.

В параллелограмме диагонали делятся точкой пересечения пополам. Поэтому треугольник $$EOD$$ равен треугольнику $$MOB$$ по двум сторонам и углу между ними. Отсюда угол $$BMO = 30°$$. Треугольники $$DOM$$ и $$EOM$$ равнобедренные, значит, угол $$EMO = 30°$$, угол $$DMO = 30°$$.

Угол $$EMD = 30° + 30° = 60°$$. Острый угол между диагоналями равен $$60°$$ или $$180° - 60° = 120°$$. Так как в задании просят найти острый угол, то ответ $$60°$$.

Ответ: Острый угол между диагоналями параллелограмма равен $$60°$$.