В параллелограмме KLMN точка A — середина стороны KN. Известно, что AL = AM. Докажите, что данный параллелограмм — прямоугольник.

Пусть K — начало координат, а векторы KL и KN равны соответственно u и v. Тогда L = u, N = v, M = u + v. Поскольку A — середина KN, A = v/2.

Из условия AL = AM получаем равенство квадратов расстояний:

|u − v/2|² = |u + v/2|².

Раскрывая квадраты, получаем u·v = 0. Значит, стороны KL и KN перпендикулярны. Параллелограмм с прямым углом является прямоугольником.

Что и требовалось доказать.