В партии из 50 деталей 4 нестандартных. Определите вероятность того, что среди выбранных наугад 10 изделий есть хотя бы одно нестандартное.

Решение:

Всего деталей в партии: \( N = 50 \).

Количество нестандартных деталей: \( K = 4 \).

Количество стандартных деталей: \( N - K = 50 - 4 = 46 \).

Выбираем наугад \( n = 10 \) изделий.

Событие A: среди выбранных 10 изделий есть хотя бы одно нестандартное.

Противоположное событие \(\bar{A}\): среди выбранных 10 изделий нет ни одного нестандартного (то есть все 10 изделий стандартные).

Общее число способов выбрать 10 деталей из 50 равно \( C_{50}^{10} \).

Число способов выбрать 10 стандартных деталей из 46 равно \( C_{46}^{10} \).

Вероятность противоположного события \( P(\bar{A}) \) равна:

\[ P(\bar{A}) = \frac{\text{количество способов выбрать 10 стандартных деталей}}{\text{общее количество способов выбрать 10 деталей}}} = \frac{C_{46}^{10}}{C_{50}^{10}} \]

\[ C_{46}^{10} = \frac{46!}{10! (46-10)!} = \frac{46!}{10! 36!} \]

\[ C_{50}^{10} = \frac{50!}{10! (50-10)!} = \frac{50!}{10! 40!} \]

\[ P(\bar{A}) = \frac{\frac{46!}{10! 36!}}{\frac{50!}{10! 40!}} = \frac{46! \cdot 10! \cdot 40!}{10! \cdot 36! \cdot 50!} = \frac{46! \cdot 40!}{36! \cdot 50!} = \frac{40 \times 39 \times 38 \times 37}{50 \times 49 \times 48 \times 47} \]

Вычислим значение:

\[ P(\bar{A}) = \frac{40 \times 39 \times 38 \times 37}{50 \times 49 \times 48 \times 47} = \frac{91390}{274050} \approx 0.33347 \]

Вероятность события A (хотя бы одно нестандартное изделие) равна \( P(A) = 1 - P(\bar{A}) \).

\[ P(A) = 1 - \frac{40 \times 39 \times 38 \times 37}{50 \times 49 \times 48 \times 47} \approx 1 - 0.33347 = 0.66653 \]

Ответ: \(1 - \frac{40 \times 39 \times 38 \times 37}{50 \times 49 \times 48 \times 47}\), или приблизительно 0.66653