В первом пропуске нужно вставить a, some или any. Какой вариант правильный и почему?

Правильный вариант – 'a'. Мы используем 'a' перед существительными в единственном числе, когда говорим о них в первый раз или когда речь идёт о каком-то неопределённом предмете. В данном случае 'desk' - это один предмет.