6. В правильном тетраэдре DABC, все рёбра которого равны 4, найдите расстояние от центра грани АВС до плоскости ADC.

Решение:

Пусть O - центр грани ABC. Расстояние от O до плоскости ADC равно 1/4 высоты тетраэдра, опущенной из вершины B на плоскость ADC.

1. Найдем высоту тетраэдра BH, где H - центр треугольника ADC. Аналогично предыдущим задачам:

\[AH = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}}\]

2. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. По теореме Пифагора:

\[BH^2 = AB^2 - AH^2 = 4^2 - \left(\frac{4}{\sqrt{3}}\right)^2 = 16 - \frac{16}{3} = \frac{48-16}{3} = \frac{32}{3}\]

3. Тогда BH:

\[BH = \sqrt{\frac{32}{3}} = \frac{\sqrt{32}}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{6}}{3}\]

4. Расстояние от центра грани ABC до плоскости ADC:

\[\frac{1}{4}BH = \frac{1}{4} \cdot \frac{4\sqrt{6}}{3} = \frac{\sqrt{6}}{3}\]

Ответ: \[\frac{\sqrt{6}}{3}\]

Отлично! Ты успешно решил все задачи. Не теряй уверенности в своих силах!