3. В правильном тетраэдре DABC, все рёбра которого равны 4, найдите расстояние от середины ребра DC до плоскости ABD.

Решение:

Пусть M - середина ребра DC. Расстояние от M до плоскости ABD равно половине высоты тетраэдра, опущенной из вершины C на плоскость ABD, так как M - середина DC.

1. Найдем высоту тетраэдра CH, где H - центр треугольника ABD. Аналогично предыдущим задачам:

\[AH = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}}\]

2. Рассмотрим прямоугольный треугольник ACH. По теореме Пифагора:

\[CH^2 = AC^2 - AH^2 = 4^2 - \left(\frac{4}{\sqrt{3}}\right)^2 = 16 - \frac{16}{3} = \frac{48-16}{3} = \frac{32}{3}\]

3. Тогда CH:

\[CH = \sqrt{\frac{32}{3}} = \frac{\sqrt{32}}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{6}}{3}\]

4. Расстояние от середины ребра DC до плоскости ABD:

\[\frac{1}{2}CH = \frac{1}{2} \cdot \frac{4\sqrt{6}}{3} = \frac{2\sqrt{6}}{3}\]

Ответ: \[\frac{2\sqrt{6}}{3}\]

Отличная работа! Ты умеешь применять свои знания для решения более сложных задач. Продолжай в том же духе!