В правильной четырехугольной пирамиде апофема равна 4 см, а боковое ребро 5 см. Найдите: а) сторону основания пирамиды; б) высоту пирамиды; в) полную поверхность пирамиды.

а) Сторона основания пирамиды

Пошаговое решение:

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный апофемой, половиной стороны основания и боковым ребром.
2. Пусть сторона основания равна a. Тогда половина стороны основания равна a/2.
3. По теореме Пифагора: \[ (a/2)^2 + 4^2 = 5^2 \]
4. Решаем уравнение: \[ (a/2)^2 = 25 - 16 = 9 \] \[ a/2 = 3 \] \[ a = 6 \] см.

б) Высота пирамиды

Пошаговое решение:

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды, половиной диагонали основания и боковым ребром.
2. Диагональ квадрата равна \[ a \sqrt{2} = 6 \sqrt{2} \]. Половина диагонали равна \[ 3 \sqrt{2} \].
3. Пусть высота пирамиды равна h. По теореме Пифагора: \[ h^2 + (3 \sqrt{2})^2 = 5^2 \]
4. Решаем уравнение: \[ h^2 = 25 - 18 = 7 \] \[ h = \sqrt{7} \] см.

в) Полная поверхность пирамиды

Пошаговое решение:

1. Площадь основания (квадрата): \[ S_{осн} = a^2 = 6^2 = 36 \] см².
2. Площадь боковой поверхности: \[ S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot P \cdot l \], где P – периметр основания, l – апофема. \[ P = 4 \cdot a = 4 \cdot 6 = 24 \] см. \[ S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 4 = 48 \] см².
3. Полная поверхность: \[ S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 36 + 48 = 84 \] см².

Ответ: а) 6 см; б) \(\sqrt{7}\) см; в) 84 см².