4. В правильной четырехугольной пирамиде боковое ребро равно \(10\sqrt{3}\) см и наклонено к плоскости основания под углом 30°. Найдите сторону основания пирамиды.

Дано: правильная четырехугольная пирамида, боковое ребро \(l = 10\sqrt{3}\) см, угол между боковым ребром и плоскостью основания \(\alpha = 30^\circ\). Найти: сторону основания пирамиды \(a\). Решение: 1. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковым ребром, высотой пирамиды и половиной диагонали основания. Обозначим половину диагонали основания как \(d/2\). 2. Используем тригонометрическую функцию косинус для угла \(\alpha\): \(\cos(\alpha) = \frac{d/2}{l}\) \(\cos(30^\circ) = \frac{d/2}{10\sqrt{3}}\) \(\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{d/2}{10\sqrt{3}}\) \(d/2 = 10\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 10 \cdot \frac{3}{2} = 15\) см Тогда, диагональ основания \(d = 2 \cdot 15 = 30\) см. 3. Так как основание пирамиды - квадрат, то диагональ квадрата связана со стороной квадрата соотношением \(d = a\sqrt{2}\), где \(a\) - сторона квадрата. 4. Выразим сторону квадрата \(a\) через диагональ \(d\): \(a = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{30}{\sqrt{2}}\) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{2}\): \(a = \frac{30\sqrt{2}}{2} = 15\sqrt{2}\) см. Ответ: Сторона основания пирамиды равна \(15\sqrt{2}\) см.