В правильной четырёхугольной пирамиде $$SABCD$$ сторона основания $$AB$$ равна 18, а боковое ребро $$AS$$ равно 15. Найдите синус угла между прямыми $$AB$$ и $$SD$$.

В правильной четырехугольной пирамиде $$SABCD$$ основание является квадратом, и все боковые ребра равны. Таким образом, $$SD = AS = 15$$. Поскольку $$AB$$ и $$CD$$ параллельны, угол между $$AB$$ и $$SD$$ равен углу между $$CD$$ и $$SD$$, то есть углу $$\angle CDS$$. Обозначим сторону квадрата как $$a = 18$$, а боковое ребро как $$b = 15$$. Рассмотрим треугольник $$SDC$$. Он является равнобедренным, так как $$SD = SC = 15$$. Пусть $$O$$ - центр квадрата $$ABCD$$. Тогда $$DO = \frac{1}{2}AC$$. Так как $$AC = a\sqrt{2} = 18\sqrt{2}$$, то $$DO = 9\sqrt{2}$$. Рассмотрим треугольник $$SDO$$. Он прямоугольный, так как $$SO$$ - высота пирамиды. Найдем $$SO$$ по теореме Пифагора: $$SO = \sqrt{SD^2 - DO^2} = \sqrt{15^2 - (9\sqrt{2})^2} = \sqrt{225 - 162} = \sqrt{63} = 3\sqrt{7}$$. Теперь рассмотрим треугольник $$ADC$$. Пусть $$\alpha$$ - угол $$\angle SDA$$. Тогда $$CD = a = 18$$, $$SD = b = 15$$, $$AC = 18\sqrt{2}$$. По теореме косинусов для треугольника $$SDC$$: $$DC^2 = SD^2 + SC^2 - 2 \cdot SD \cdot SC \cdot \cos(\angle DSC)$$ $$18^2 = 15^2 + 15^2 - 2 \cdot 15 \cdot 15 \cdot \cos(\angle DSC)$$ $$324 = 225 + 225 - 450 \cos(\angle DSC)$$ $$450 \cos(\angle DSC) = 450 - 324 = 126$$ $$\cos(\angle DSC) = \frac{126}{450} = \frac{63}{225} = \frac{7}{25}$$ Так как $$SD = CD$$, $$\angle DSC = \angle CDS$$. Следовательно, углы при основании $$CD$$ равны, то есть $$\angle CDS = \angle DCS$$. Пусть $$\alpha = \angle CDS$$. Тогда $$2 \alpha + \angle DSC = 180^\circ$$. $$\alpha = (180 - \angle DSC) / 2$$ Найдем $$\sin(\angle CDS)$$. Так как $$\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$$, то $$\sin(\angle DSC) = \sqrt{1 - \cos^2(\angle DSC)} = \sqrt{1 - (\frac{7}{25})^2} = \sqrt{1 - \frac{49}{625}} = \sqrt{\frac{576}{625}} = \frac{24}{25}$$. Искомый синус угла: 0.96